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관성 텐서(질량 행렬) 본문

Season 1/수학

관성 텐서(질량 행렬)

codeonwort 2011.11.13 03:49

이 글에서는 3차원의 경우 관성 모멘트를 구하는 방법을 설명하고 이로부터 관성 텐서를 도출한다. 관성 모멘트의 물리적 의미는 학부 수준의 일반물리학 교재에서 찾을 수 있고 나는 수학적인 계산만 다룰 것이다.

원점을 지나는 직선 L을 O + tD로 표시하자. O는 원점, t는 실수, D는 단위 방향 벡터다. 이 축에 대한 한 입자의 관성 모멘트는 입자의 질량 m, 원점에 대한 상대 위치 r = (x, y, z)일 때 다음과 같다.
(여기서 원점은 (0, 0, 0)을 말하는 것이 아니며 직선과 입자의 위치를 나타내기 위한 기준점을 뜻한다. 그러니까 원점이 물체의 질량 중심이여도 문제될 것은 없다)


한 축에 대한 입자의 관성 모멘트는 (입자의 질량) x (입자에서 축까지의 거리의 제곱)인데 위 식에 쓴 거리의 제곱은 밑의 그림처럼 피타고라스 정리에 따라 구한 것이다.


그리고 p개의 입자 m_i(1 <= i <= p)로 이루어진 강체의 L에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다. 강체를 이루는 입자들의 관성 모멘트를 단순히 더한다.



이제 이 식을 풀어서 써보자. 먼저 D를 (d1, d2, d3)라 한다. D는 단위 방향 벡터이므로 d1d1 + d2d2 + d3d3 = 1 이다.


 d1d1 + d2d2 + d3d3 = 1 를 이용하여 식을 변형한다.


d1, d2, d3는 시그마와 무관하니 시그마 밖으로 빼내면


마지막 식에서는 각각의 시그마를 기호로 대체했을 뿐이다. 이 마지막 식을 행렬간의 곱으로 묶을 수 있다.


두 번째 줄의 첫 번째 식에서 가운데 행렬이 바로 관성 텐서로 마지막 식에서는 J로 표기했다. 관성 텐서의 모든 성분은 물체를 이루는 입자들의 질량과 위치에만 관련되어 회전축과는 상관 없는 물리량이다. 관성 텐서만 구해놓으면 임의의 축을 중심으로 회전할 때 그 축의 단위 방향 벡터만 구해서 마지막 식에 따라 계산하면 관성 모멘트를 알아낼 수 있다.

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