여기에 쓴 수학을 짧게 적어볼까 한다.
베지어 곡선은 일반화되어 여러 종류가 있으며, 여기에 쓴 것은 플래시에서 Graphics#curveTo() 메서드로 그릴 수 있는 2차 베지어 곡선(Quadratic Bézier curve)이다. 다음과 같이 정의된다.
요점은 입자의 움직임을 선분 L(s)으로 나타내어 B(t)와 L(s)의 교점을 찾자는 것이다. 교점이 없다면 충돌하지 않은 것이고, 교점이 있다면 알맞은 방향으로 튀어야 한다. 먼저 선분 L(s)를 정의해야겠다.
입자의 이전 위치는 A이며 현 속도로 움직이면 이번 위치는 B가 된다. L(s)를 위처럼 정의하여 L(0) = A , L(1) = B 이고 s가 커질 수록 A에서 B로 가까워지는 선분의 자취가 되었다.
지금부터 할 일은 방정식 B(t) = L(s) 을 푸는 것이다. B(t)와 L(s)가 평면상 위치 벡터이기 때문에 식은 사실상 두 개이며, 미지수도 t, s로 두 개이니 이 방정식은 풀 수 있다. 벡터 기하학에서 어떤 다른 방법을 배우는 지는 모르겠지만, 내가 아는 건 고등학교 수학과 선형대수학 앞부분 뿐이라 성분 별로 풀겠다.
지금부터는 컴퓨터로 수식을 쓰기가 힘들어 자필로 대체한다,
해의 쌍(t, s)을 구했으면 다음 작업이 남았다.
1. 입자를 B(t) 에 놓는다.
2. B(t) 에서의 단위 접선 벡터를 구한다.
3. 물체의 속도를 법선 벡터에 대해 반사시킨다.
4. 수치 보정을 위해 입자를 단위 법선 벡터만큼 옮긴다.
입자를 B(t) 에 놓는 것은 간단하다. 공식에 t를 대입하여 입자의 좌표로 삼는다. 접선 벡터를 구한다.
입자의 충돌 후 속도를 찾을 차례다. 충돌 전 속력을 v, 충돌 후 속력을 v' 이라 하고 그림을 그려서 관계식 찾는다.
플래시에서는 충돌했을 때 속도를 줄이기 위해 충돌 후 속력을 v'이 아니라 0.7v' 으로 줬다.
마지막으로 충돌 후 방향으로 입자를 조금 옮기면 끝난다.
