베지어 곡선은 일반화되어 여러 종류가 있으며, 여기에 쓴 것은 플래시에서 Graphics#curveTo() 메서드로 그릴 수 있는 2차 베지어 곡선(Quadratic Bézier curve)이다. 다음과 같이 정의된다.[각주:1]
요점은 입자의 움직임을 선분 L(s)으로 나타내어 B(t)와 L(s)의 교점을 찾자는 것이다. 교점이 없다면 충돌하지 않은 것이고, 교점이 있다면 알맞은 방향으로 튀어야 한다. 먼저 선분 L(s)를 정의해야겠다.
입자의 이전 위치는 A이며 현 속도로 움직이면 이번 위치는 B가 된다. L(s)를 위처럼 정의하여 L(0) = A , L(1) = B 이고 s가 커질 수록 A에서 B로 가까워지는 선분의 자취가 되었다.
지금부터 할 일은 방정식 B(t) = L(s) 을 푸는 것이다. B(t)와 L(s)가 평면상 위치 벡터이기 때문에 식은 사실상 두 개이며, 미지수도 t, s로 두 개이니 이 방정식은 풀 수 있다. 벡터 기하학에서 어떤 다른 방법을 배우는 지는 모르겠지만, 내가 아는 건 고등학교 수학과 선형대수학 앞부분 뿐이라 성분 별로 풀겠다.
지금부터는 컴퓨터로 수식을 쓰기가 힘들어 자필로 대체한다,
해의 쌍(t, s)을 구했으면 다음 작업이 남았다.
1. 입자를 B(t) 에 놓는다.
2. B(t) 에서의 단위 접선 벡터를 구한다.
3. 물체의 속도를 법선 벡터에 대해 반사시킨다.
4. 수치 보정을 위해 입자를 단위 법선 벡터만큼 옮긴다.
입자를 B(t) 에 놓는 것은 간단하다. 공식에 t를 대입하여 입자의 좌표로 삼는다. 접선 벡터를 구한다.
입자의 충돌 후 속도를 찾을 차례다. 충돌 전 속력을 v, 충돌 후 속력을 v' 이라 하고 그림을 그려서 관계식 찾는다.
플래시에서는 충돌했을 때 속도를 줄이기 위해 충돌 후 속력을 v'이 아니라 0.7v' 으로 줬다.
