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타원 궤도를 도는 위성의 속력 구하기 본문

수학

타원 궤도를 도는 위성의 속력 구하기

codeonwort 2010.11.18 16:25


단반경 R, 장반경 kR인 타원 궤도를 도는 위성의 근일점에서의 속력 v를 구해보자. (단, k>1)

타원 운동하는 위성의 운동에는 등속 원운동 공식을 적용할 수 없다. 타원 운동에서 속력을 구하려면 케플러의 면적 속도 일정의 법칙과 역학적 에너지 보존 법칙을 이용해야 한다.

먼저 케플러의 법칙 중 두 번째, rv = RV에 따라 근일점에서의 속력이 v면 원일점에서의 속력은 v/k가 된다.

다음으로 타원 운동은 중심력만이 작용하는 운동이므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 멈춰 있든 등속 원운동을 하든 타원 운동을 하든 중심으로부터 거리만 같으면 위치 에너지는 같으므로 다음과 같이 식을 세울 수 있다.


이 식을 v에 대해 정리하면 다음 식이 나온다.

* 여기서 k=1이면 v = sqrt(GM/R)이 되며 이 속력은 반지름 R인 등속 원운동을 할 때와 같은 속력이다.

한편, k>1이므로 k+k > k+1, 즉 2k > k+1이 성립하며, 양변을 (k+1)로 나누면 2k/(k+1) > 1 이 성립한다. 이는 타원 운동의 단반경이 R 이상일 때 근일점에서의 속력은, 반지름 R인 등속 원운동할 때의 속력보다 항상 크다는 뜻이다.

근일점에서의 속력을 구했으므로 다른 위치에서의 속력은 케플러의 두 번째 법칙을 사용하여 간단한 비례식으로 구한다.
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5 Comments
  • 프로필사진 moon 2012.02.23 04:15 신고 아니면, 필요한 구심력에 미치지 못하는 힘인 만유인력이 작용하여 원궤도를 유지시키지 못하고 타원궤도를 도는 것인가요?
  • 프로필사진 moon 2012.02.23 04:16 신고 근일점을 지날 때, 운동방향과 직각인 방향으로 만유인력이 작용하여 순간 등속력 원운동한다고 들었는데
    k>1이라면, 근일점을 지날 때 필요한 구심력(mv2/r)이 위성에 작용하는 만유인력보다 큰 값이 됩니다. 그렇다면 만유인력 말고도 구심력에 일조하는 다른 힘이 있다는 것인가요?
  • 프로필사진 codeonwort 2012.02.23 06:59 신고 위성의 운동은 타원 운동이고 운동은 공간을 따라 이동하는 것인데 한 점에서만 등속 원운동을 한다는 것을 이해할 수 없습니다.
    또한 위성이 타원 운동 대신 등속 원운동을 한다고 가정할 때 저 타원 운동할 때 근일점이라 한 지점에서 속력이 v이고 그 직후 속력도 v입니다. 하지만 타원 운동할 때는 근일점을 지난 직후 속력이 v가 아니고 따라서 근일점에서 받는 힘도 다릅니다.
  • 프로필사진 물리 2017.04.15 21:32 신고 위에 저 식에서 위치 에너지는 어떤 방식으로 구하신 건가요?
  • 프로필사진 codeonwort 2017.04.17 18:15 신고 만유인력을 거리 무한대에서 kR, R까지 적분한 값입니다.
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