시컨트의 거듭제곱 적분 (일반항 추가)

* 고등학교 미적분을 알아야 합니다.

* 고등학생일 때 쓴 거라 이제 가물가물합니다. 물어봐도 대답 못 해요...

시컨트 적분

사실 이 방법은 결과를 거꾸로 밟아서 대충 짜맞추는 것이다. 아래는 좀 더 단계적인 접근이다. (적분 기호는 생략)

시컨트 제곱 적분

자명하다.

시컨트 세제곱 적분

 

시컨트 네제곱 적분

 세제곱 적분할 때와 비슷한 기법을 썼다.

시컨트에서 시컨트 네제곱까지 결과만 써보면 이렇다.

그럼 시컨트 n제곱을 적분하면 뭐가 나올까?

네제곱 적분까지 봐도 시컨트와 탄젠트로만 구성되었다는 것 빼곤 규칙이 전혀 보이지 않는다. 일반항이 있을까? 여기서 세제곱과 네제곱을 적분하는 과정을 다시 살펴보면, 시컨트 제곱을 분리해서 시컨트 제곱을 탄젠트의 도함수로 바꾸고 다음 공식을 사용했다.

이것에 착안하여 시컨트 n제곱을 n-2제곱과 제곱의 곱으로 바꾸고 방금 말한 기법을 사용하면

점화식이 나온다.

이 점화식과 맨 처음 구한 시컨트 적분만 알면 2 이상의 모든 자연수 n에 대해 시컨트 n제곱을 구할 수 있다.

그리고 일반항 -_-